Spatiul fazelor
Dificultăţile care apar în descrierea evoluţiei sistemelor haotice impun căutarea unei posibilităţi de reprezentare care să permită găsirea cu mai mare uşurinţă a unor soluţii calitative.
Să analizăm două modalităţi de reprezentare a evoluţiei unui pendul simplu. În reprezentarea din figura 1 pe abscisă figurează variabila timp şi, pe ordonată, poziţia. Funcţia reprezentată este legea de mişcare a unui pendul simplu care execută oscilaţii libere fără frecare – de forma θ = θ0 sin ( ωt+π/2)
Planul în care fiecare punct reprezentativ este caracterizat prin valorile poziţiei şi momentului în timp constituie din punct de vedere matematic, spaţiul configuraţiilor asociat sistemului.
în figura 2 se reprezintă, pentru acelaşi sistem, şi dependenţa de timp a vitezei - de forma
θ, =ω θ0 cos ( ωt+π/2)
în continuare să reprezentăm pe ordonată viteza şi pe abscisă poziţia. Rezultă, pentru sistemul în discuţie, situaţia din figurii a 3-a. Planul în care fiecare punct reprezentativ este caracterizat prin valorile vitezei şi poziţiei constituie din punct de vedere matematic, spaţiul fazelor asociat sistemului.
Dacă pendulul este unul la care se produce şi amortizare în timp a oscilaţiilor, datorită frecării cu aerul, cele două moduri de reprezentare vor avea aspectul ca în figurile 4, respeciv 5.
 
În sfârşit, în cazul unui pendul la care intervine şi o forţă exterioară cu dependenţă sinusoidală de timp, având frecvenţa apropiată de frecvenţa proprie a pendului, oscilaţiile se vor prezenta ca in figura 6 unde reprezentăm în funcţie de timp valorile poziţiei şi vitezei.
Diagrama corespunzătoare spaţiului fazelor se prezintă ca în figura 7.
Revenim acum la exemplul mişcării oscilatorii a acului magnetic, prezentat anterior. în situaţia în care acţionează doar un câmp magnetic constant, reprezentarea în spaţiul fazelor a stării dinamice a acului magnetic (în condiţiile în care ecuaţiile ce descriu poziţia unghiulară şi viteza de oscilaţie au fost găsite de forma:( θ=θ0 cos ω1t respectiv θ, =-ω1 θ0 sin ω1t) se prezintă ca în fig. 8.
În timp, punctul reprezentativ (P) din spaţiul fazelor, de coordonate (0, 0,),descrie o elipsă care este traiectoria de fază. Aceasta conţine toate informaţiile despre mişcarea sistemului începând din momentul iniţial când coordonatele au avut valori precizate. Evoluţia în timp a valorilor parametrilor are loc în sensul săgeţii. Semiaxele elipsei corespund valorilor elongaţiei unghiulare maxime (θ0) a mişcării - semiaxa orizontală, respectiv valorii vitezei unghiulare (ωθ0) maxime a oscilaţiilor - semiaxa verticală. Pentru valori mai mari ale elongaţiei iniţiale (θ0) traiectoria în spaţiul fazelor este o elipsă mai mare şi se obţin practic o infinitate de astfel de elipse care se vor închide asupra lor însele dacă mişcarea este oscilatorie.
Această familie de curbe închise asupra lor însele ce se formează într-un domeniu spaţial mărginit constituie un obiect geometric numit atractor.
În cazul în care acul magnetic se roteşte complet în jurul propriei axe, ceea ce se întâmplă când valoarea vitezei iniţiale este mare, traiectoria de fază va fi o curbă deschisă (fig. 9).
Între cele două regiuni se remarcă o traiectorie limită, curba separatoare.Traiectoriile din spaţiul fazelor nu se întretaie. Intersectarea lor ar însemna un punct corespunzător unei anumite stări iniţiale, descrisă prin coordonatele (θ0, ωθ0), după care ar putea să urmeze două evoluţii ulterioare distincte în viitor, ceea ce contrazice conceptul de determinism, în sens ideal al termenului.
Odată cu aplicarea câmpului magnetic rotitor, starea dinamică a sistemului se descrie prin trei parametri (θ,θ,, φ). Va fi necesar un spaţiu reprezentativ al fazelor cu trei dimensiuni. Traiectoria de fază ce descrie evoluţia sistemului va avea un aspect foarte complicat, dificil de caracterizat. în acest scop, se va putea utiliza o soluţie, sugerată de H. Poincare, care simplifică lucrurile. Bazându-ne pe caracterul unghiular al variabilei φ, vom realiza tăieturi ale traiectoriei din spaţiul tridimensional, de-a lungul axei corespunzătoare variabilei φ, prin plane perpendiculare pe această axă, la valori care reflectă periodicitatea: 0, 2π, 4π...
Punctele de intersecţie ale traiectoriei cu aceste plane se vor proiecta pe planul de coordonate (θ,θ,). Se obţine astfel o reprezentare bidimensională (fig. 9)numită secţiune Poincare. Cele două regimuri dinamice ale sistemului apar foarte clar în această reprezentare: regiunile în care punctele reprezentative sunt distribuite pe curbe închise regulate, corespund situaţiilor în care acul magnetic oscilează în rezonanţă cu câmpul excitator sau oscilează liber în jurul direcţiei câmpului fix, iar regiunile în care punctele reprezentative sunt distribuite dezordonat, corespund situaţiilor în care mişcarea devine haotică. O situaţie de genul celei din figura 9 se obţine pentru cazul în care se neglijează în ecuaţia de mişcare, termenul datorat frecării cu aerul (Kθ,).
Analiza unei astfel de reprezentări, ce poate fi realizată prin modelare numerică folosind calculatorul, ne permite să găsim cu precizie acele condiţii iniţiale (θ0,θ,0) care trebuiesc întrunite, pentru obţinerea unei mişcări cu caracter determinist sau a uneia haotice.
|
